『実関数とフーリエ解析』の詳細情報

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タイトル 実関数とフーリエ解析
サブタイトル
著者 [著者区分]高橋 陽一郎 [著・文・その他]
出版社 岩波書店 レーベル
本体価格
(予定)
4400円 シリーズ
ページ数 436p Cコード 3341
発売予定日 2006-07-07 ジャンル 専門/全書・双書/数学
ISBN 9784000054577 判型 A5
内容紹介
古典解析学の華,現代数学を育んできた土壌
目次
まえがき
理論の概要と目標

第1章 収束
 §1.1 数列と級数
§1.2 連続関数の収束
§1.3 積分の収束
§1.4 ベクトル空間と内積
§1.5 集合と距離

第2章 Fourier級数
 §2.1 Fourier級数とFourier係数
§2.2 Fourier和の幾何学的な意味
§2.3 Dirichlet核とFejr核
§2.4 Fourier和の収束
§2.5 Gibbsの現象
§2.6 たたみこみ
§2.7 多次元の場合

第3章 Fourier級数の応用
 §3.1 いろいろな適用例
  (a) テータ関数
(b) 一様分布定理
(c) 等周問題
(d) Szegの定理
 
  §3.2 熱方程式
    (a) 熱方程式の導出
(b) 円周上の熱方程式
(c) 区間上の熱方程式
(d) 地球の温度
 
  §3.3 円板におけるDirichlet問題
§3.4 たたみこみと酔歩
    (a) 数列のたたみこみ
(b) 酔歩
(c) 再帰性
(d) 多次元の場合
 
  §3.5 固有関数展開
    (a) 巡回群上のFourier解析
(b) 正弦展開
(c) 余弦展開
(d) 境界値問題
(e) 微分作用素
(f) 固有値と固有関数
 
  §3.6 直交多項式に関するFourier展開
    (a) 直交多項式
(b) 直交多項式に関するFourier展開
(c) 直交多項式の零点
(d) 付記:古典的直交多項式のみたす微分方程式
 

第4章 実関数の性質( I )
 §4.1 凸関数,単調関数,有界変動関数
  (a) 凸関数とその性質
(b) 凸関数の表現
(c) 単調関数の連続点と不連続点
(d) 右連続単調関数の分解
(e) 有界変動関数
 
  §4.2 一様近似と多項式
    (a) Weierstrassの多項式近似定理
(b) 連続関数の最大点と最小点
(c) 最良近似
 
  §4.3 Stieltjes積分
    (a) Riemann-Stieltjes積分
(b) Stieltjes積分の性質
(c) 部分積分の公式
(d) 変数変換
(e) 一般化
 

第5章 実関数の性質(II)
 §5.1 積分と不等式
  (a) Cauchy-Schwarzの不等式とその周辺
(b) Hlderの不等式とMinkowskiの不等式
(c) Gauss積分とHadamardの不等式
(d) 不等式の利用
 
  §5.2 関数空間
    (a) 空間の定義
(b) Riemann-Lebesgueの定理
(c) 内積とノルム
(d) ノルムの評価
 
  §5.3 微分を巡って
    (a) Hardy関数
(b) 微分
(c) 弱い意味での微分
(d) 分数階の微分
 

第6章 Fourier変換
 §6.1 Fourier積分
  (a) 事始め
(b) 熱方程式
(c) Fourier変換の一意性(広義積分として)
 
  §6.2 急減少関数のFourier変換
    (a) 関数空間
(b) におけるFourier変換
(c) 波の方程式
(d) Hermite多項式
 
  §6.3 2乗可積分関数のFourier変換
    (a) と
(b) におけるFourier変換
(c) 微分
(d) 滑らかさと減衰の速さ
(e) Hermite展開とFourier変換
 
  §6.4 可積分関数のFourier変換
    (a) 関数空間
(b) におけるFourier変換
(c) Fourier-Stieltjes変換
 
  §6.5 多次元のFourier積分

第7章 Fourier変換の応用
 §7.1 いろいろな適用例
  (a) Poissonの和公式
(b) 多次元のPoissonの和公式
(c) Minkowskiの定理
(d) 中心極限定理
(e) Bochnerの定理
(f) 付記:間隙級数
 
  §7.2 関数論とFourier変換
    (a) 最大値原理とPhragmn-Lindelfの定理
(b) Poisson-Jensenの公式
(c) Hardyの定理
(d) Paley-Wienerの定理
 
  §7.3 微分方程式とFourier変換
    (a) 球面波
(b) Radon変換と平面波
(c) 定数係数線形微分作用素の表象
(d) 双曲型方程式の表象
(e) における熱半群
 
  §7.4 いろいろな変換
    (a) Laplace変換
(b) Hilbert変換とCauchyの特異積分
(c) Rieszポテンシャル
(d) 付記:群の上のFourier変換について
 

第8章 関連する話題
 §8.1 Hardy空間
  (a) 上半平面上のHardy空間
(b) Hardy関数の特徴付け
(c) 単位円板上のHardy関数との関係
 
  §8.2 分布関数の収束とLaplace変換
    (a) 分布関数の収束とHellyの選出定理
(b) Bochnerの定理
(c) 中心極限定理(一般の場合)
(d) 分布関数のLaplace変換
(e) 確率母関数とモーメント問題
(f) Bernsteinの定理と逆変換公式
(g) 付記:Krein-Milmanの端点表示定理
 
  §8.3 漸近挙動
    (a) Stirlingの公式
(b) Laplaceの方法
(c) 停留位相法
(d) 鞍点法
(e) Abel型定理とTauber型定理
 
  §8.4 Radon変換
    (a) におけるRadon変換
(b) Radon変換の逆変換
(c) エックス線変換
 

参考文献
今後の学習のために
演習問題解答
索引
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